mod 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论，你是怎么将它和L'(1，E)联系起来的？还有，你是如何确定D均为同余数的？“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于E的Weil-Hasse函数L(s，E)的定义，一个经典结果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p}，这推出L(s，E)对\mathrm{Re}\， s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式，就可以将其与L'(1，E)联系起来。另外，BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L(1，E_D)=0。假定弱BSD猜想成立，则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D \equiv 5，6，7(\mod 8)时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。“
刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构，你前面根据Mordell定理进一步断言E(Q)是有限生成的：E(Q)=\Bbb Z^r \oplus T，此处挠群T是某个有限Abel群，r称为E的秩。我们对T的了解是完全的：Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢？你这里是不是缺少了对R的有效刻画？“
庞学林道：“基于Eichler， Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，现在知道L(s，E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s，E)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知BSD猜想对m=0.1成立，故L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同余数问题上间接证明了B
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